[文海大联考]2025届高三信息卷数学试题

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则Gm+1a1a2a3·"anan+1 + log2bn+1两式相减得 a²+1 = a1a2asa,(an+1 — 1)+ log2b+1 — log2b,即 a²+1 = a1a2as.·an (an+1 - 1)+ log2q.因为{αn}是首项为 2 的“k数列”,所以α+1一T,=k，即a1a2a3.·an = ae+i —k,所以 a²+1 =(am+1 —k)(an+1 — 1)+ log2q,即（k+1)a+1 =k+log2q对任意的n∈ N*恒成立.7分因为a2=T+k=a1+k=2+k,a=T2+k=a1a2+k=2(2+k)+k=°3k+4,((k+1)a2—k=log2q，{(k+1)(2+k)-k=log2q，则即[(k+ 1)a -k = log2q,"[(k+ 1)(3k+4)-k= log2q,解得k=-l,q= 2.又由a²=a1+log2b，即4=2+log2b，得b=4,所以bn=2"+1检验可知k=一1符合要求,故数列{bn}的通项公式为b，=2"+110分（3）因为{an}为“k 数列",所以 αn+1一T,=k,即 αn+i = αα2α3…an+k 对任意的n ∈ N*恒成立，因为α >1,k > 0,所以 a2 =a +k > 1.再结合a>1,k>0,a2>1,反复利用am+1=a1a2a3"an+k，可得对任意的n∈ N*,an>1.··..12分设函数f(x)=lnx-x+1,x>1,则f（x)=1由f'(x)=0,得x= 1.当x>1时,f(x)<0,所以f(x)在(1，+∞)上单调递减所以当x>1时,f(x)=lnx-x+1 1,所以 ln an In T, + n.17分

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