炎德英才大联考(长郡版)长郡中学2025届高三月考试卷(八)8数学答案

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:BC=CP=2,::CM⊥BP,/315.解：（1)由正弦定理得sinA=sinBcosC-sin Csin又AMNCM=M,AM,CMC面 ACM,B.1分.BP⊥面ACM,2分:A=π-(B+C),·.sin A=sin(B+C),-2分又ABC-DEF是三棱柱，·.四边形ABED是行四.sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C-边形，√3sin Csin B,3ABE2π/BAP√3cos Bsin Csin Csin B,4分△ABP,△BPC均为等边三角形，BP=2，则CM=又 sin C≠0,..tan BAM=√3,:AC=√6,:.AM²+CM²=AC²,√35分:.AMLCM,又B为三角形内角，B2元6分:CM⊥BP,AMNBP=M,AM,BPC面ABED,（2）:D在AC边上，且ADCM⊥面ABED,4分2DC,BDBC+BA:PEC面 ABED,.CM⊥PE,7分:BP=2,在△PDE中,PD=ED=2,/PDE=2元:BD⊥BA,.BD·BA=0,..PE=2√3,又BE=4,即BA+BC·BA=0=BA2BC·BA.BP²+PE²=EB²,即 PE⊥BP,-5分0,9分又CM∩BP=M,CM,BPC面BCP，PE⊥面2元11分BCP,-6分:BCC面 BCP,..PE⊥BC..7分在△ABC中，由c=a,B=π，可得C=13分(2)由(1)可知MA,MP,MC两两垂直，以M为原点，16.解：(1)f（x)=2x1分MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直依题意，f'(1)=2×1-a+1=0,解得α=线为轴建立空间直角坐标系，-3分经检验符合题意，所以a=3.5分！则 C(0,0,√3),P(0,1,0),A(√3,0,0),B(0,-1,0),(2)证明:由(1)可知，f(x)=x²一3x十lnx，由于P是AD的中点,得D(一√3,2,0),又由BA=ED要证f(x)=x²-3x+lnx≤2x²-4x，即证可得E（-2√3,1,0），In x≥0,6分. PC=(0,-1,√3), PE =(-2√3,0,0),PD =设g(x)=x²-ln x,则 g'（x）=2x（-√3,1,0)8分(x-1)(2x+1)8分设面ECP的法向量为n=（x1,y1,1），x所以当x∈(0,1)时，g'（x)<0，g(x)单调递减，n·PC=0,y+√3x1=0，当x∈(1,+∞o)时,g'（x)>0,g(x)单调递增，则<即(n·PE=0,-2√3x1=0，当x=1时，g(x)取得极小值,也是最小值，11分令y1=√3,得n=(0,√3,1)，-10分因为g(1)=0,g(x)≥g(1)=013分所以f(x)≤2x²-4.x.15分设面PCD的法向量为n2=（x2，2，2），17.解：（1)证明：取BP的中点2n2·PC=0,y2+√3x2=0，M，连接AM,CM,则<即√3x2+y2=0，:P为AD的中点，AD=4，:AP=2,:AB=2,.AM令y2=√3,得n2=(1,√3,1)，-12分⊥BP,设面ECP与面PCD的夹角为θ，3