2024届衡水金卷先享题 [调研卷](三)3文数(JJ·A)试题

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解：(1)当x<0时，-x>0,所以f(-x)=(-x)2十2(-x)=x2-2x.(4分)又f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=2x-x2,(8分)所以f(x)=2+2x,x≥0，(10分)2x-x2,x<0.(2)因为f(x)≥x十2，2x-x2>x+2,(16分)x<0,解得x≥1，即x∈[1，+∞).(20分)12.(20分)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)十f(b)-1,且当x>0时，f(x)>1(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；案容(3)若f(2)=3,Hx∈[2,3]，f(1og(ax2+x+1)≥2，求实数a的取值范围.解：(1)令a=b=0,可得f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1.+0(3分)(2)f(x)是R上的增函数，证明如下：(5分)任取x1,x2∈R,不妨设x10,可知f(x2一x1)>1,单(7分)因为f(x2)=f(x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1>f(x1),所以函数f(x)为R上的增函数.(10分)(3)令a=b=1,由f(2)=2f(1)-1=3,可得f(1)=2,(12分)因为f(x)是R上的增函数，Hx∈[2,3]，f(1og(ax2+x+1)≥2=f(1),可得log(ax2+x+1)≥1，(14分)所以ax2+x+1≥3，审a≥是-任)广-日(16分)因为x21,所以[6]是2日}[日0](18分)所以a≥0，即实数a的取值范围为[0，十∞).(20分)

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