炎德英才大联考 长沙市一中2024届高三月考试卷(二)2数学试题

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能力·重点突破【例1】解析由已知得圆M的圆心为M(一1,0)，半径=1，圆N的圆显然△>0，则x十x2=1k22k2-22k2+1x1z-2k2+1,心为V(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N则AB|=V中√G+)2-4,西=2Y21+1+2k2内切，所以|PM+|PN=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>21MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M,V分别为左、右焦点，长半联立y=-轴长为2，短半错长为的猫圆左顶点除外)，其方程为号+号-1（子+1D可得T(-2,太)，所以TE,-√是/1+kx=一2，TE,-2).所以TAB1+2k21十k2十及2【变式训练1】1.号-号-1(x>②)2C2/2/k2(k2+1)22/k(k2+1)2√(1+k2)k2【例2】解析(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为=号，因为1+≠，所以等号不成立.22/k2(k2十1)零，设Px,,则kn·nm=片‘之=，整理得2-入综上，A品的最小值为号，此时直线1的方程为工=一1.TF(≠0，x≠土1)，即动点P的轨迹C的方程为x2-兰-1(a≠0，x≠士1).【例2】解析(1)因为椭圆过点A(0,-2),所以b=2,(2)当入>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去因为四个顶点围成的四边形的面积为4厅，所以号×2a×26=45,顶点)；即a=√5，当一1<入0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴的两个端点)；故椭圆的标准方程为号+兰-1当入=一1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（一1,0），(2)设B(x1,y2),C(x22),因为直线BC的斜率存在，所以x2x2≠0，(1,0)；当入<一1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点).【变式训练2】解析(1)设椭圆的长半轴长、半焦距分别为a,c,a+c=7,解得a=4,由已知得/a一c=1,lc=3,所以销圆C的标准方程为后+号-12》设M.其中x∈[-4，，已知9-及点P在韬网C故直线ABy=当十2-2,令y=-3,则=一十2同理v上可得8号-2，整理得16x2-9)x2+16x22-12,其中x∈y2+2[-4,4].可得(4+5k2)x2-30kx+2①当X=时，化简得92=12，直线BC:y=k-3,由=x3,14.x2十5y2=20,=0,所以点M的轨迹力程为y=土4（一4长≤，轨迹是两条行于枚△=900k2一100(4十5k2)>0,解得k<-1或>1.又x1十x230k25轴的线段4十5及4十5放x1>0,所以N>0,x2②当≠子时方程变形为2十立=1，其中x[一4,4幻，PMI+PNI=IZM+ZNI=T1T21162-9162市+2k.x1-1当0<<时，点M的轨迹为中心在原点，实轴在y轴上的双曲线满50k30k2kx1x2-(x1十x2）4+5k24十5k足一4x4的部分.k.x2-130k2=5k|,k2xx2-k(x十x2)十125k2当

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