衡水金卷先享题 2023届调研卷 政治(湖北专版)(三)3答案

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22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x经过点A(1,2),直线l:y=kx十b与抛物线C交于M,N两点.(1)若MN=4OA,求直线l的方程；(2)当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k,都有b=mk十n(m,n为常数)，求m十2n的值.yN0xM解：(1)因为A(1,2),MN=4OA,所以皮=k-0=2,2-则直线l为y=2x十b,设M(x1,y1),N(x2y2),个由心=4红，得4x2+(46-4)z+6=0,y=2x+b,由△=(46-402-162>0，得6<2，b2则x1十x2=1-b,x1x2=4因为MN=4OA,所以(x2-x1,y2-y1)=4(1,2)=(4,8),所以x2一x1=4,所以(x2-x1)2=(x1十x2)2-4x1x2=16,15即(1-b)2-b2=16,解得6=所以直线1的方程为y=2x-15,即4虹-2y-15=0(2)设M(x1,y1),N(x2y2）,由=4红，得x+(26-40江十6=0，y=kx+b,由△=(2kb-4)2-4k2b2>0,得kb-1<0,则x1十x2=4-2kbb2k2,1x2=2所以+：=（红1+z,)+26-420+2b-套，及y1y=(kx1+b)(kx2+b)=2x1x2+b(x1十x2)+6:=4约因为AM⊥AN,所以AM·AN=0,所以(x1-1)(x2-1)+（y1-2)(y2-2)=0,即x1x2-(x1十x2)+1十y1y2-2(y1十y2)+4=0,所以5k2+(6b一8)k+b2-4=0,即(k+b一2)(5k十b+2)=0,解得b=2一k或b=一5k一2，所以m=一1，n=2或m=一5，n=一2，所以m+2n=3或m+2n=-9.·已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点（片）到焦点的距离为是(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A,B为抛物线位于x轴上方不同的两点，直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2一4=4k1十4k2,证明：直线AB过定点，并求出直线AB斜率的取值范围.解：(1)因为抛物线Cy°=2pr(p>0)上-点（任到黑点的距离为是，部百面平府，所以4+？=号，解得力=2，1p5所以抛物线C的标准方程为y2=4x.82)设A(得小，B(里人长因（手·其中y1>0y2>0,则k1=1?=,y2若直线AB⊥y轴，则直线AB与抛物线C至多一个交点，不合乎题意；若直线AB⊥x轴，则直线AB与抛物线C不可能在x轴上方有两个交点，不合乎题意；设直线AB的方程为x=my十b(m≠0)，直线AB的斜率=1，m联立方程=my十6，得y一4my一6=0，y2=4x,因为y1>0且y2>0,所以△=16m2+16b>0,y1+y2=4m>0,y1y2=-4b>0.因为k1k2一4=4k1十4k2,所以4-1=4+4，即4-y=4十4y1y1y2 y1 y2所以4+4b=16m,即b=4m一1，则直线AB的方程为x=my十4m-1=m(y十4)-1，所以直线AB过定点（一1，一4），△>0，m2+4m-1>0,由题意得m>0,即m>0,b<0,4m-1<0,解得5-2

21.(12分)已知双曲线C:三一6=1(a>0,b>0)的实轴端点分别为A1(-a,0),A,(a,0),右焦点为F,离心率为2，过点A,且斜率为1的直线1与双曲线C交于另一点B,已知△A1BF的面积为2(1)求双曲线C的方程.(2)若过点F的直线与双曲线C交于M,N两点，试探究直线A,M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由解：(1)设双曲线C的焦距为2c,由题意知直线l的方程为y=x十a.因为离心率为2，所以c=2a,b=√3a,y=x十a,联立{x2得x2-ax-2a2=0,△=9a2>0,3a21=1所以点B的坐标为(2a,3a).9因为F(2a,0),所以△A1BF的面积为2×3aX3a=号，所以a2=1,故双曲线C的方程为x?一少=1.3(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+2,立线A,M的方程为y=十x十1)，直线A:N的方程为y=”7红-1)，x2-1y1(x十1)yx1+1联立所以点Q的横坐标为x0=1十x1一y十型yy2x1y2一x2y1+y1+y2x2-1(x-1),x=my+2,联立-y2得(3m2-1)y2+12my+9=0,△=36m2+36>0,=1312m9则y1十y=一3m=1yy:=3m2-1'x1y2+x2y1-y1+y2=(my1+2)y2+(my2+2)y1-y1+y22my1y2+3y2+y1所以xQx1y2-x2y1+y1+y2(my1+2)y2-(my2+2)y1+y1+y23y2一y196m2m X3m2-1+3y2+-12m3m2-1y22y2+3m2-11一12m12m2,3y2-3m2-1-y4y2+3m2-1所以直线A,M与直线A2N的交点Q在直线x=2